Белыми грибами или шампиньонами. В них нет ничего уникального, поэтому в принципе, можно любыми грибами заменить. 
Если говорить о пользе, то есть грибы гораздо полезнее, например рейши, кордицепс или наш чага. Правда они запариваются как чай, а не употребляются в блюде.

Жареные баклажаны напоминают грибы. 

Блюдо только выиграет, если заменить шиитаке белым грибом или опятами. Если тушить или варить суп, то молодыми подосиновиками или подберёзовиками, они ещё ароматнее.

Лисичками. В крайнем случае китайский древесный гриб (муэр), который перед приготовлением нужно распаривать в воде.

Вообще-то главная ценность Шиитаке не в кухне, а в лечебных свойствах. Этот гриб способен поддерживать иммунитет и обладает противоопухолевыми свойствами. Т. е. заболел ОРЗ, употребил этот гриб и реально быстрее выздоравливаешь.
Лично я пробовал его только в таблетках, поэтому какой он на вкус в блюдах не знаю и думаю это не так важно, т. к. ценность в другом. Ближайшая альтернатива этому грибу — наша чага. Стоит недорого по сравнению с Шиитаке, а свойства те же. Другой, более дорогой аналог — мейтаке.